KOGNISI DALAM MEMPELAJARI MATEMATIKA

Matematika adalah ilmu pengetahuan yang memiliki struktur yang ketat, terdiri atas aksioma, definisi, dan teorema, yang dibangun dengan suatu struktur logika (Ervynck, 1991). Proses berpikir analitik dan logik memainkan peranan penting dalam merepresentasekan struktur pengetahuan matematika. Ini menunjukkan bahwa berpikir matematika diproduksi melalui proses mental sadar, dan didasari oleh logika matematika dan bukti matematika. Proses memformulasi pengetahuan matematik melalui pengaitan antara notasi dan simbol dengan ide-ide matematika memerlukan aktivitas mental yang disebut kognisi formal (formal cognition). Kognisi formal merupakan kognisi yang dikontrol oleh logika matematika dan bukti matematika baik melalui induksi matematika atau melalui deduksi (Fischbein, 1994).  Definisi limit dan teorema-teorema limit, berkaitan dengan kognisi formal. Kognisi formal menyediakan cara ketat memahami pengetahuan matematika.

Selain menggunakan aktivitas mental yang disebut kognisi formal, proses bekerja dalam matematika sering bersifat algoritmik atau prosedural, dikerjakan langkah demi langkah, misalnya menggunakan rumus “abc” untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat, menghitung nilai-nilai fungsi pada beberapa titik untuk menggambar grafik fungsi, menggunakan rumus untuk menentukan limit, turunan atau integral suatu fungsi, dan beberapa prosedur penyelesaian soal dan strategi-strategi standar lainnya.

Dalam matematika formal, konsep didefinisikan secara ketat dan sifat-sifat konsep dibangun melalui deduksi logis dari definisi dan teorema-teorema terkait. Pada sisi lain, makna intuitif sebuah konsep digunakan untuk membantu memahami konsep. Namun demikian tidak semua konsep matematika mudah difahami secara intuitif. Sebagai contoh, individu sangat sulit melihat ekivalensi antara himpunan bilangan asli dengan himpunan bilangan genap, mereka sangat sulit melihat adanya korespondensi satu-satu antara anggota-anggota himpunan dengan anggota-anggota himpunan bagian sejatinya. Karena itu untuk memahami relasi tersebut, mereka harus kembali ke pengertian formal tentang ekivalensi dua himpunan sebelum mengkonstruksi korespondensi satu-satu antara kedua himpunan tersebut. Dalam hal ini nampak bahwa kemampuan memahami definisi formal suatu konsep merupakan salah satu upaya memahami konsep. Argumentasi deduktif sebagai produk aktivitas mental yang dipandu oleh logika dan bukti matematika merupakan sisi yang sangat penting dalam konstruksi pengetahuan matematika.

Pengaitan antara notasi atau simbol dengan ide-ide matematika dapat dijumpai dalam pendefinisian matematika, dan pada pembuktian matematika. Kemampuan memahami kaitan antara notasi dan simbol matematika sangat bergantung kepada pemahaman notasi, simbol matematika, dan logika matematika. Dalam matematika lanjut, seperti analisis real misalnya, umumnya pendefinisian ide-ide matematika menggunakan notasi atau simbol matematika, sehingga mahasiswa yang tidak memahami makna notasi atau simbol matematika, serta logika matematika dalam sebuah definisi formal sangat sulit memahami definisi formal dari suatu konsep matematika. Hal ini sesuai dengan pengamatan penulis ketika mengajarkan konsep formal limit fungsi. Banyak mahasiswa yang sulit memahami makna definisi formal limit fungsi yang disajikan dalam perkuliahan.

Sebagaimana dinyatakan sebelumnya, proses memformulasi pengetahuan matematika melalui pengaitan antara notasi atau simbol dengan ide-ide matematika memerlukan aktivitas mental yang disebut kognisi formal (formal cognition). Namun demikian, kognisi formal tidak menjelaskan setiap langkah berpikir dalam aktivitas matematik. Pengembangan kemampuan memahami dan menggunakan pengetahuan formal adalah tidak menjamin kreativitas matematik, seperti membuat dugaan atau klaim pengetahuan baru. Jadi, adalah tidak jelas apakah kreativitas matematika dapat dikembangkan hanya melalui penggunaan kognisi formal. Mahasiswa mungkin menjadi sangat yakin akan kemampuan logika dan penalarannya dalam pembuktian matematik yang ketat, akan tetapi hanya sedikit mahasiswa yang berhasil dengan baik dalam aktivitas menggunakan pengetahuan formal mereka atau menjadi kreatif dalam berpikir matematik.

Karena itu diduga, ada proses mental (kognisi) berbeda selain kognisi formal dalam mengoperasikan kegiatan/aktivitas matematik. Kognisi ini disebut kognisi intuitif (biasanya disingkat intuisi). Fischbein (1994) menyatakan “in analysing students' mathematical behaviour, three aspects have to be taken into account: the formal (definitions, theorems etc), the algorithmic (solving techniques and standard strategies), and the intuitive (the subjective acceptance of a mathematical concept, theorem or solution).”

Proses mental terkait dengan penggunaan komponen formal bersifat ketat (rigorous), sedangkan proses mental terkait dengan komponen algoritma, dilakukan langkah demi langkah, mengikuti formula atau prosedur tertentu. Selanjutnya, Fischbein (1994) mengklaim bahwa interaksi dan konflik antara ketiga komponen kognisi tersebut sangatlah kompleks dan umumnya tidak mudah diidentifikasi atau difahami, “The interactions and conflicts between the formal, the algorithmic, and the intuitive components of a mathematical activity are very complex and usually not easily identified or understood.”

Khususnya untuk kognisi formal (formal cognition) dan kognisi intuitif atau intuisi (intuitive cognition); bilamana diajukan sebuah masalah, mungkin keduanya memberi keputusan sama, atau mungkin pula memberi keputusan yang bertolak belakang. Sebagai contoh, secara intuitif orang menyimpulkan bahwa bilangan yang direpresentasikan dengan 0,999... selalu lebih kecil dari 1, tetapi pada sisi lain dengan menggunakan pengertian limit, orang dapat menyimpulkan bahwa kedua bilangan tersebut sama. Dengan kata lain, bilangan 0,999... merupakan representasi lain dari bilangan 1.

Dalam menyelesaikan sebuah masalah matematika, mungkin seseorang hanya dapat menggunakan salah satu kognisi tersebut. Ketika menunjukkan limit sebuah fungsi linier, seorang mahasiswa mungkin dapat menyajikannya melalui sebuah grafik, dan ia tidak mampu menunjukkannya melalui bukti formal ( ). Pada sisi lain seorang mahasiswa mungkin dapat membuktikan sebuah identitas trigonometri, tetapi tidak dapat menjelaskan mengapa identitas tersebut berlaku. Ini berarti kedua kognisi tersebut merupakan proses berbeda dalam aktivitas mental seseorang. Hal ini menunjukkan adanya interaksi atau konflik antara kognisi formal dan kognisi intuitif (intuisi).

Formal cogntion versus Intuitive conition (Hah Roh, 2005)

(tanda panah dua arah menunjukkan kemungkinan adanya interaksi atau konflik diantara kedua kognisi tersebut)

Selain itu kognisi yang dikembangkan individu yang tidak bergantung kepada pembelajaran tetapi sebagai efek dari pengalaman pribadi disebut kognisi intuitif primer; biasanya disingkat intuisi primer (primary intuition), dan pada sisi lain, intuisi baru dapat dikembangkan melalui pembelajaran atau pelatihan sistematik yang disebut kognisi intuitif sekunder; biasanya disingkat intuisi sekunder (secondary intuition).

Fischbein (1983) memberikan istilah yang berbeda dengan masing-masing kategori intuisi tersebut. Ia membedakan dua tipe intuisi, yaitu intuisi primer dan intuisi sekunder. Intuisi primer adalah intuisi yang berkembang secara alami, tidak bergantung kepada pembelajaran, sebaliknya intuisi sekunder merupakan intuisi yang dibangun sebagai hasil dari proses pembelajaran secara sistematik. Fischbein (1983) menyatakan, “primary intuitions are those which develop themselves naturally, independently of any systematic instruction. Secondary intuitions are those which may be developed as a result of a systematic instructional process.”

Sejalan dengan yang diuraikan sebelumnya, kedua jenis intuisi ini dapat memberi keputusan sama atau berbeda dengan keputusan yang diambil melalui penggunaan kognisi formal pada suatu pemecahan masalah.

Formal Cognition Versus Two kind of Intuitive Cognition (Hah Roh, 2005)

(Tanda anak panah dua arah menunjukkan kemungkinan adanya interaksi atau konflik diantara kedua kognisi tersebut, sedangkan tanda anak panah satu arah menunjukkan adanya perkembangan kognitif dari intuisi primer ke intuisi sekunder sebagai hasil pembelajaran secara sistematik).

Dalam pembelajaran matematika, dimungkinkan menggunakan metode informal dan metode formal dalam mempelajari dan mengkomunikasikan ide-ide matematika. Metode formal biasanya diartikan sebagai komunikasi langsung dengan sistem aksiomatik formal matematika. Karena itu, dalam argumentasi formal dimungkinkan hanya menggunakan aksioma, definisi eksak, teorema yang telah dibuktikan sebelumnya, konsep-konsep dasar tak terdefinisi, dan logika matematika. Menurut Goldin (Viholainen, 2007), bukti formal yang dikerjakan melalui metode ini dapat dipandang sebagai pembenaran atau jastifikasi mutlak, dan pengetahuan matematika yang diperoleh melalui metode ini dapat dipandang sebagai kebenaran objektif, relatif terhadap sistem aksioma formal tersebut. Karena itu nilai kebenaran proposisi matematika tidak bergantung kepada preferensi atau interpretasi individu, konvensi sosial, negosiasi, atau konsepsi subjektif, tetapi melalui argumen formal yang memiliki peranan meyakinkan dalam memutuskan proposisi tersebut benar atau salah.

Pada sisi lain, representasi internal suatu konsep memiliki banyak sisi. Representasi internal tersebut sangat penting dalam berpikir matematik sebab mereka menolong untuk memahami sifat abstrak matematika. Menurut Goldin (Viholainen, 2007), representasi internal dapat berupa verbal/sintaktik, imaginistik, notasi formal, strategik/heuristik, atau berupa asosiasi mental afektif suatu konsep. Proses berpikir formal berbasis hanya kepada representasi notasi formal, tetapi dalam berpikir matematika informal, semua jenis representasi internal dapat dimanfaatkan/digunakan. Namun demikian, berpikir informal dan berargumen informal memiliki kelemahan dalam hal keketatannya.

Untuk mengkaji bagaimana subjek memahami konsep formal, Tall dan Vinner (1981) mengusulkan untuk mengobservasi relasi antara konsepsi informal (citra konsep individu terhadap konsep) dan konsepsi formal (koleksi konsep formal yang didefinisikan melalui definisi formal, dan sifat-sifatnya), dan interrelasi yang diekspressikan melalui proposisi, teorema, dan akibat-akibatnya. Berpikir matematika informal menghendaki individu memberi makna informal terhadap definisi formal konsep dan klaim matematika formal. Makna ini disebut representasi informal. Umumnya interpretasi informal menolong mengkonkretkan makna definisi formal dan klaim formal, namun seperti pada argumen informal, sedikitnya hingga pada taraf tertentu, memiliki kelemahan dalam hal keketatan, dan karena itu interpretasi informal tidak termasuk ke dalam sistem aksiomatik formal matematika. Interpretasi informal memiliki peranan signifikan dalam berpikir informal dan dalam berargumentasi informal: argumentasi informal; sangat sering berbasis kepada interpretasi informal.

Uraian-uraian di atas menunjukkan bahwa konsep matematika tidak hanya dipahami melalui proses berpikir formal, atau menggunakan kognisi algoritmik. Pemahaman konsep matematika dapat berlangsung sebagai interaksi antara kognisi formal, kognisi algoritmik, dan kognisi intuitif. Kognisi intuitif melakukan proses untuk memberi makna, atau interpretasi informal terhadap definisi formal, teorema-teorema, memberi makna atau interpretasi suatu rumus atau prosedur tertentu, atau membuat dugaan-dugaan atau klaim dalam suatu pemecahan masalah matematika.

Citra dan gambaran Konsep Limit Fungsi

Konsep memiliki suatu gambaran mental (mental picture) dan citra konsep (concept image). Gambaran mental  individu terhadap suatu konsep merupakan himpunan semua represesntasi visual (termasuk simbol) yang berasosiasi dengan konsep  (Tall dan Vinner, 1981). Selanjutnya, dikatakan bahwa “We shall use the term concept image to describe the total cognitive structure that is associated with the concept, which includes all the mental pictures and associated properties and process.” Citra konsep dipandang sebagai semua struktur kognitif yang berasosiasi dengan konsep, terdiri atas gambaran mental, sifat dan proses yang berasosiasi dengan konsep. Jadi citra konsep terdiri atas semua struktur kognitif, sadar atau tidak sadar yang membentuk pemahaman individu terhadap konsep.  Citra konsep dalam pikiran individu, dapat dipandang sebagai gambaran pemahaman individu terhadap suatu konsep.

Sebagai contoh, gambaran mental (mental picture) konsep limit fungsi seorang mahasiswa mungkin terdiri atas notasi limit, grafik fungsi yang terkait dengan notasi tersebut, dan semua gambaran visual yang terkait dengan konsep limit fungsi. Lebih jauh, citra konsep (concept image) konsep limit fungsi yang mungkin dimiliki mahasiswa tersebut, selain gambaran mental yang disebutkan di atas, juga mungkin terdiri atas definisi formal yang diketahuinya, cara menentukan limit fungsi, teorema-teorema yang berkaitan dengan konsep limit beserta buktinya.

Konsep limit merupakan konsep dasar dalam mempelajari kalkulus dan analisis. Konsep limit digunakan untuk membangun konsep-konsep kalkulus dan analisis, misalnya konsep kontinuitas, differensial, integral, aproksimasi, sifat konvergen dan divergen sebuah barisan dan deret, serta dapat diaplikasikan dalam menentukan kuantitas terukur bentuk-bentuk geometri, dan dalam menjelaskan kelakuan fungsi.

Pengenalan awal konsep limit diberikan kepada mahasiswa tahun pertama dalam matakuliah Kalkulus. Dalam masa ini, definisi formal limit juga diberikan sesudah pengertian secara intuitif konsep limit dan pemecahan masalah menentukan (kandidat) limit. Konsep formal limit disajikan secara terbatas, yaitu hanya menyajikan definisi formal dan menggunakan definisi formal untuk membuktikan/memvalidasi limit fungsi-fungsi sederhana. Penyajian definisi formal limit pada tahun pertama perkuliahan, merupakan dasar bagi mahasiswa dalam proses belajar ke arah definisi-definisi formal dan ketat konsep-konsep matematika selanjutnya. Lebih jauh, definisi formal limit dapat dijadikan titik awal membangun  teknik pembuktian secara formal, memahami keketatan sebuah pernyataan matematika, serta transisi ke arah berpikir abstrak.

Dalam pembelajaran mata kuliah Kalkulus, notasi limit fungsi; , diinterpretasikan secara intuitif sebagai “jika x mendekati c, tetapi tidak sama dengan c maka f(x) mendekati L” atau “f(x) mendekati L bilamana x mendekati c, tetapi tidak sama dengan c.” Kata “mendekati” dalam interpretasi notasi limit tersebut dapat diganti dengan kata “menuju ke” Beberapa asumsi implisit/tidak tertulis juga biasanya dianggap dipenuhi, misalnya: a sebarang titik di R dan fungsi f diasumsikan sebagai fungsi dari himpunan bilangan real R ke himpunan bilangan real R.

Pada sisi lain, definisi formal limit yang umumnya disajikan pada buku-buku teks (dengan anggapan, asumsi a sebarang titik di R dan f fungsi dari himpunan bilangan real R ke himpunan bilangan real R, dipenuhi) ditulis sebagai berikut.

berarti untuk setiap bilangan positip , terdapat bilangan positip , sedemikian sehingga jika x memenuhi  maka .

Bagi kebanyakan mahasiswa, interpretasi intuitif dengan definisi formal limit seperti yang disajikan di atas, tidak dapat mereka kaitkan secara langsung, bahkan cenderung membingungkan.

Mengapa notasi limit;  , yang didefinisikan secara formal di atas dapat diinterpretasikan secara intuitif seperti yang dinyatakan berikut “jika x mendekati c, tetapi tidak sama dengan c maka f(x) mendekati L” atau “f(x) mendekati L bilamana x mendekati c, tetapi tidak sama dengan c.”? Pada interpretasi intuitif notasi limit fungsi tersebut, kata mendekati atau menuju ke dapat diassosiasikan dengan kata konvergen dalam konsep limit barisan, dengan anggapan, mahasiswa dapat menginterpretasikan  kalimat x mendekati c atau x menuju ke c sebagai nilai-nilai x yang “bergerak” mendekati atau menuju c. Penginterpretasian ini dapat dipandang sebagai upaya pembayangan konsep limit barisan. Mahasiswa dapat membayangkan bahwa notasi limit tersebut bermakna sebagai, jika nilai-nilai  bergerak mendekati atau menuju ke bilangan c maka nilai-nilai f(x) yang berpadanan juga bergerak mendekati atau menuju ke bilangan L. Interpretasi intuitif notasi limit fungsi tersebut juga dapat disajikan dalam bentuk grafik fungsi f yang memenuhi notasi .

Pengintrepretasian secara intuitif notasi  sebagai “jika x mendekati a, tetapi tidak sama dengan a maka f(x) mendekati L” didasari oleh sebuah teorema dalam analisis real yang menjamin ekivalensi antara definisi formal limit fungsi 

“untuk setiap bilangan positip , terdapat bilangan positip , sedemikian sehingga jika x memenuhi  maka .”

dengan pernyataan berikut,

Jika barisan  konvergen ke c dan , maka barisan  konvergen ke L.                                                                          (Bartle, 1992)

Teorema tersebut menjembatani interpretasi intuitif limit fungsi dengan definisi formal limit fungsi. Namun karena teorema ini tidak disajikan dalam mata kuliah kalkulus maka interpretasi intuitif limit dan definisi formalnya, terlihat sulit dikaitkan dalam pikiran mahasiswa.

Masalah berikut yang cukup sulit dipecahkan dalam pembelajaran limit adalah makna intuitif limit fungsi yang ditulis dalam buku-buku teks kalkulus; yaitu  berarti “jika x mendekati c, tetapi tidak sama dengan c maka f(x) mendekati L” pada dasarnya secara implisit menyatakan bahwa fungsi f  boleh berupa fungsi konstan, yaitu  f(x) = L untuk semua nilai x. Hal ini biasanya bertentangan dengan makna sehari-hari kata tersebut. Makna kata saya mendekati anda dalam kehidupan sehari-hari tidak menunjukkan bahwa saya boleh menempati posisi anda. Seperti yang dinyatakan sebelumnya, pemilihan kata mendekati atau menuju ke dalam pengertian limit diassosiasikan dengan kata konvergen dalam pengertian barisan konvergen.

Selain makna intuitif dan definisi formal limit, penyajian konsep limit dalam mata kuliah kalkulus, juga menekankan mahasiswa dapat menentukan (kandidat/calon) limit serta membuktikan/memvalidasi limit untuk fungsi-fungsi sederhana.

Menurut penulis, terdapat dua proses berbeda yang ditekankan ketika mengajarkan konsep limit. Pertama, proses menentukan (kandidat/calon) limit. Dalam proses ini, dicari (diduga) sebuah bilangan L sehingga Bilangan L dicari (diduga) dengan memperhatikan kecenderungan nilai-nilai f(x) pada semua titik x di dekat titik c (kecuali di titik c), meskipun secara faktual kita biasanya cukup mengambil beberapa titik x  yang dekat dengan titik c, kemudian memperhatikan kecenderungan nilai-nilai f(x)nya. Proses menetukan limit tersebut didasarkan kepada makna intuitif notasi limit fungsi; , yaitu bilamana nilai-nilai x diambil cukup dekat dengan c, maka nilai-nilai f(x) juga cukup dekat dengan nilai L (asalkan limit tersebut ada). Dalam proses ini, pada prinsipnya kita baru menduga kandidat/calon limit fungsi, karena kita belum membuktikan secara formal bahwa nilai L yang ditemukan benar-benar limit dari fungsi f tersebut.

Kedua, proses membuktikan (memvalidasi) limit. Dalam proses ini, dibuktikan secara formal bahwa bilangan L yang diperoleh tersebut benar-benar limit dari fungsi f atau mungkin bukan limit fungsi f. Jika dalam bagian pertama, diduga bahwa bilangan L adalah limit atau bukan limit fungsi f, maka dalam bagian kedua ini kita harus menggunakan definisi formal limit dalam membangun rangkaian (kalimat) buktinya. Inilah proses yang cukup sulit dipahami mahasiswa. Mungkin mahasiswa dapat menuliskan rangkaian bukti dengan benar, namun ia tidak memahami mengapa rangkaian (kalimat) bukti yang ditulisnya membuktikan (memvalidasi) limit tersebut. Pada dasarnya proses membuktikan limit sebuah fungsi f di suatu titik c adalah menunjukkan bahwa kita dapat mendekatkan nilai-nilai f(x) ke sebuah bilangan tertentu L sedekat yang diinginkan pada semua titik x  di dalam sebuah (suatu) interval yang memuat c.

Terlihat adanya perbedaan cara berpikir untuk memahami proses menentukan kandidat limit sebuah fungsi dengan proses memahami pembuktian (validasi) kandidat limit fungsi. Dalam menentukan limit sebuah fungsi f, pertama, kita memfokuskan diri pada input, yaitu nilai-nilai “x” di sekitar titik c, kemudian menentukan output, yaitu nilai-nilai “f(x)”. Selanjutnya kandidat limit fungsi dipilih berdasarkan kecenderungan nilai-nilai output {f(x)}. Sebaliknya, untuk memahami proses memvalidasi kandidat limit fungsi, dibutuhkan kemampuan berpikir dalam arah berlawanan dari proses berpikir menentukan kandidat limit fungsi. Pertama, menentukan sembarang interval yang memuat kandidat tersebut (L) dan menentukan prapeta fungsi f. Selanjutnya menunjukkan secara simultan, adanya interval pada domain fungsi yang memuat c sehingga peta fungsi f atas interval pada domain fungsi tersebut (kecuali mungkin f(c)) termuat seluruhnya ke dalam interval yang memuat kandidat limit tersebut (L).

Dalam pandangan penulis, proses memvalidasi kandidat limit merupakan proses yang cukup sulit dilakukan, dan karena itu, penyajian konsep formal limit dengan waktu yang tidak cukup, umumnya dapat menyebabkan mahasiswa tidak memahami dengan baik konsep formal limit tersebut. Beberapa mahasiswa dapat mengingat dengan baik definisi formal limit, dapat membuktikan limit fungsi sederhana dengan menggunakan “prosedur , namun tidak dapat menjelaskan makna kalimat definisi formal limit, baik dengan kata-katanya sendiri atau dengan merepresentasekan melalui gambar. Selain itu, beberapa mahasiswa yang dapat menunjukkan secara tertulis bukti limit fungsi tertentu, juga tidak dapat menjelaskan langkah-langkah pembuktian yang dilakukannya.

Pada sisi lain, penulis juga mengamati bahwa makna limit fungsi bagi mahasiswa, cenderung bukan sebuah bilangan yang akan didekati oleh nilai-nilai fungsi, melainkan memandang limit fungsi sebagai sebuah proses mendekati bilangan tertentu dari nilai-nilai fungsi. Hal ini nampak dalam pengamatan penulis pada saat mengajar Kalkulus. Beberapa mahasiswa mengatakan kalimat yang serupa dengan kalimat berikut, “limitnya mendekati…”, atau “sebenarnya limitnya bukan 7 melainkan bilangan yang sangat dekat dengan 7, jadi disimpulkan limitnya adalah 7.” Juga terlihat, ada beberapa mahasiswa berpendapat bahwa dalam konsep limit, nilai fungsi tidak pernah dicapai oleh limit fungsi, beberapa mahasiswa juga berpendapat bahwa fungsi konstan tidak mempunyai limit di setiap titik.

Hasil pengamatan penulis tersebut didukung oleh beberapa pendapat ahli pendidikan. William (1991) menyatakan bahwa terdapat beberapa isu mengenai konsep limit. Dikatakan bahwa, conceptions of all limit are often confounded by issues of whether(1) a function can reach its limit, (2) a limit is actually a boundary, (3) limits are dynamic processes or static objets, (4) limits are inherently tied to motion concepts.. Isu ini menunjukkan adanya beberapa gambaran mental tentang limit fungsi diantara mahasiswa.

Salah satu faktor yang mempengaruhi terbentuknya gambaran mental tentang konsep limit adalah adanya pengaruh pemaknaan konsep limit berlatarbelakang bahasa sehari-hari. Davis dan Vinner (1986) menyatakan bahwa faktor bahasa atau kata yang digunakan dalam definisi informal limit, dapat mengakibatkan munculnya miskonsepsi tentang limit. Dikatakan, “There are unavoidable sources of naive misconceptions inherent to the idea of a limit. One is the influence of  language or words, in which certain terms remind us of ideas that intrude into students’ attempts to represent mathematical concepts. These terms are phrases such as ‘tends to’, ‘approaches’ or ‘gets close to’”. Dalam pembelajaran konsep limit, penggunaan kata-kata “mendekati, menuju ke, atau dekat ke” juga kita gunakan dalam pengertian limit secara informal. Makna secara matematik kata-kata tersebut diharapkan dapat memberi pengertian tentang limit sering tidak sejalan dengan makna yang diberikan mahasiswa yang berlatar belakang bahasa sehari-hari. Sebagai contoh, subjek dapat memaknai kalimat “f(x) mendekati L” sebagai “f(x) mendekati L tetapi tidak sama dengan L”, sehingga, khususnya limit fungsi konstan;  (L(x) = L untuk semua x pada domain fungsi), tidak dapat dijelaskan mahasiswa yang menganggap pengertian limit itu melalui kalimat “jika x mendekati c maka L(x) mendekati L”

Dalam penelitian lain, Tall (1980a, 1980b) menyatakan bahwa dalam notasi Leibniz, mahasiswa dengan latar belakang konsep limit intuitif memaknai   sebagai proses menuju ke nol (infinitely small). Notasi tersebut tidak dimaknai sebagai nol (“0”). Selanjutnya, serupa dengan hal tersebut dikatakan bahwa mahasiswa memandang notasi  sebagai proses tanpa henti sehingga 0,999…9…dianggap lebih kecil dari 1. Proses ini, oleh Tall disebut infinitesimally smaller than 1. Dalam penelitian Tall tersebut, beberapa subjek memberikan alasan-alasan berikut, “0,999… is just less than 1 but the difference between it and 1 is infinitely small,” “I think 0,999… = l because we could say “ 0,999… reaches one at infinity” although infinity does not actually exist, we use this way of thinking in calculus, limits”. Dapat disimpulkan bahwa dari hasil penelitian Tall tersebut, prosess menghitung limit lebih didasarkan pada penggunaan feeling atau intuisi, yang oleh Tall disebut  intuitive infinitesimals.

Mengapa konsep limit memiliki gambaran mental beragam diantara mahasiswa? Apakah otak manusia tidak sanggup menerima konsep limit dan logika matematika secara umum? Tall dan Vinner (1981), menjelaskan perbedaan cara individu berpikir tentang konsep dari definisi formalnya, yaitu membedakan antara matematika sebagai aktivitas mental dan matematika sebagai sistem formal. Keduanya berpendapat bahwa otak manusia bukan semata-mata suatu kesatuan logika. Kompleksitas otak biasanya berfungsi tidak sesuai dengan logika matematika. Akibatnya, seorang matematikawanpun tidak kebal terhadap konflik internal dalam pikirannya, walaupun mungkin pada akhirnya ia dapat mereorganisasi kembali konstruksi pengetahuannya melalui rangkaian argumentasi deduktif. Adanya konflik internal dalam pikiran, mungkin sebagai produk pemahaman intuitif yang melekat dalam konsep, yaitu konsep tidak semata-mata dipandang dari definisi formal dan teorema-teorema yang terkait dengannya.

Dari beberapa konsepsi mahasiswa tentang konsep limit yang telah diutarakan, dapat ditarik beberapa kesimpulan, (1) Penggunaan kata-kata “mendekati, menuju ke, atau dekat ke” dalam pengertian intuitif konsep limit, seperti dalam kalimat berikut “jika x mendekati c, tetapi tidak sama dengan c maka f(x) mendekati L” atau “f(x) mendekati L bilamana x mendekati c, tetapi tidak sama dengan c,” tidak jelas/tidak ketat secara matematik dan bermakna tidak sama dengan makna kata-kata tersebut dalam kehidupan sehari-hari. Makna kata “x mendekati c, x menuju ke c, atau x dekat ke c” dalam buku-buku teks kalkulus membolehkan x sama dengan c, hal ini jelas bertentangan dengan makna kata-kata tersebut dalam bahasa sehari-hari. Salah satu akibat yang mungkin timbul adalah, mahasiswa tidak dapat menunjukkan mengapa limit fungsi konstan sama dengan nilai fungsinya. (2) Pendefinisian konsep limit dalam bentuk kalimat implikatif “jika …maka” dipandang sebagai proses menentukan limit fungsi. Dalam notasi mahasiswa mungkin menekankan pandangan bahwa notasi limit tersebut merupakan proses menentukan/mencari sebuah bilangan L. Interpretasi seperti ini mungkin dapat menyebabkan mahasiswa berpandangan bahwa, bilamana limit fungsi telah diperoleh, maka telah ditunjukkan bahwa limit tersebut telah dibuktikan. Pendefinisian konsep limit secara intuitif dalam bentuk kalimat implikatif “jika….maka” hanya secara implisit menyatakan bahwa notasi ” adalah sebuah bilangan. (3) Makna intuitif tidak secara langsung dapat diturunkan dari definisi formal limit, sehingga banyak mahasiswa tidak dapat mengaitkan antara makna intuitif limit dengan definisi formalnya. Kesulitan mengaitkan makna intuitif notasi limit dengan definisi formalnya, kemungkinan dapat menyebabkan mahasiswa sulit mengkonstruksi definisi formal limit melalui makna intuitif notasi limit tersebut.