KOGNISI DALAM MEMPELAJARI MATEMATIKA

Matematika adalah ilmu pengetahuan yang memiliki struktur yang ketat, terdiri atas aksioma, definisi, dan teorema, yang dibangun dengan suatu struktur logika (Ervynck, 1991). Proses berpikir analitik dan logik memainkan peranan penting dalam merepresentasekan struktur pengetahuan matematika. Ini menunjukkan bahwa berpikir matematika diproduksi melalui proses mental sadar, dan didasari oleh logika matematika dan bukti matematika. Proses memformulasi pengetahuan matematik melalui pengaitan antara notasi dan simbol dengan ide-ide matematika memerlukan aktivitas mental yang disebut kognisi formal (formal cognition). Kognisi formal merupakan kognisi yang dikontrol oleh logika matematika dan bukti matematika baik melalui induksi matematika atau melalui deduksi (Fischbein, 1994).  Definisi limit dan teorema-teorema limit, berkaitan dengan kognisi formal. Kognisi formal menyediakan cara ketat memahami pengetahuan matematika.

Selain menggunakan aktivitas mental yang disebut kognisi formal, proses bekerja dalam matematika sering bersifat algoritmik atau prosedural, dikerjakan langkah demi langkah, misalnya menggunakan rumus “abc” untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat, menghitung nilai-nilai fungsi pada beberapa titik untuk menggambar grafik fungsi, menggunakan rumus untuk menentukan limit, turunan atau integral suatu fungsi, dan beberapa prosedur penyelesaian soal dan strategi-strategi standar lainnya.

Dalam matematika formal, konsep didefinisikan secara ketat dan sifat-sifat konsep dibangun melalui deduksi logis dari definisi dan teorema-teorema terkait. Pada sisi lain, makna intuitif sebuah konsep digunakan untuk membantu memahami konsep. Namun demikian tidak semua konsep matematika mudah difahami secara intuitif. Sebagai contoh, individu sangat sulit melihat ekivalensi antara himpunan bilangan asli dengan himpunan bilangan genap, mereka sangat sulit melihat adanya korespondensi satu-satu antara anggota-anggota himpunan dengan anggota-anggota himpunan bagian sejatinya. Karena itu untuk memahami relasi tersebut, mereka harus kembali ke pengertian formal tentang ekivalensi dua himpunan sebelum mengkonstruksi korespondensi satu-satu antara kedua himpunan tersebut. Dalam hal ini nampak bahwa kemampuan memahami definisi formal suatu konsep merupakan salah satu upaya memahami konsep. Argumentasi deduktif sebagai produk aktivitas mental yang dipandu oleh logika dan bukti matematika merupakan sisi yang sangat penting dalam konstruksi pengetahuan matematika.

Pengaitan antara notasi atau simbol dengan ide-ide matematika dapat dijumpai dalam pendefinisian matematika, dan pada pembuktian matematika. Kemampuan memahami kaitan antara notasi dan simbol matematika sangat bergantung kepada pemahaman notasi, simbol matematika, dan logika matematika. Dalam matematika lanjut, seperti analisis real misalnya, umumnya pendefinisian ide-ide matematika menggunakan notasi atau simbol matematika, sehingga mahasiswa yang tidak memahami makna notasi atau simbol matematika, serta logika matematika dalam sebuah definisi formal sangat sulit memahami definisi formal dari suatu konsep matematika. Hal ini sesuai dengan pengamatan penulis ketika mengajarkan konsep formal limit fungsi. Banyak mahasiswa yang sulit memahami makna definisi formal limit fungsi yang disajikan dalam perkuliahan.

Sebagaimana dinyatakan sebelumnya, proses memformulasi pengetahuan matematika melalui pengaitan antara notasi atau simbol dengan ide-ide matematika memerlukan aktivitas mental yang disebut kognisi formal (formal cognition). Namun demikian, kognisi formal tidak menjelaskan setiap langkah berpikir dalam aktivitas matematik. Pengembangan kemampuan memahami dan menggunakan pengetahuan formal adalah tidak menjamin kreativitas matematik, seperti membuat dugaan atau klaim pengetahuan baru. Jadi, adalah tidak jelas apakah kreativitas matematika dapat dikembangkan hanya melalui penggunaan kognisi formal. Mahasiswa mungkin menjadi sangat yakin akan kemampuan logika dan penalarannya dalam pembuktian matematik yang ketat, akan tetapi hanya sedikit mahasiswa yang berhasil dengan baik dalam aktivitas menggunakan pengetahuan formal mereka atau menjadi kreatif dalam berpikir matematik.

Karena itu diduga, ada proses mental (kognisi) berbeda selain kognisi formal dalam mengoperasikan kegiatan/aktivitas matematik. Kognisi ini disebut kognisi intuitif (biasanya disingkat intuisi). Fischbein (1994) menyatakan “in analysing students' mathematical behaviour, three aspects have to be taken into account: the formal (definitions, theorems etc), the algorithmic (solving techniques and standard strategies), and the intuitive (the subjective acceptance of a mathematical concept, theorem or solution).”

Proses mental terkait dengan penggunaan komponen formal bersifat ketat (rigorous), sedangkan proses mental terkait dengan komponen algoritma, dilakukan langkah demi langkah, mengikuti formula atau prosedur tertentu. Selanjutnya, Fischbein (1994) mengklaim bahwa interaksi dan konflik antara ketiga komponen kognisi tersebut sangatlah kompleks dan umumnya tidak mudah diidentifikasi atau difahami, “The interactions and conflicts between the formal, the algorithmic, and the intuitive components of a mathematical activity are very complex and usually not easily identified or understood.”

Khususnya untuk kognisi formal (formal cognition) dan kognisi intuitif atau intuisi (intuitive cognition); bilamana diajukan sebuah masalah, mungkin keduanya memberi keputusan sama, atau mungkin pula memberi keputusan yang bertolak belakang. Sebagai contoh, secara intuitif orang menyimpulkan bahwa bilangan yang direpresentasikan dengan 0,999... selalu lebih kecil dari 1, tetapi pada sisi lain dengan menggunakan pengertian limit, orang dapat menyimpulkan bahwa kedua bilangan tersebut sama. Dengan kata lain, bilangan 0,999... merupakan representasi lain dari bilangan 1.

Dalam menyelesaikan sebuah masalah matematika, mungkin seseorang hanya dapat menggunakan salah satu kognisi tersebut. Ketika menunjukkan limit sebuah fungsi linier, seorang mahasiswa mungkin dapat menyajikannya melalui sebuah grafik, dan ia tidak mampu menunjukkannya melalui bukti formal ( ). Pada sisi lain seorang mahasiswa mungkin dapat membuktikan sebuah identitas trigonometri, tetapi tidak dapat menjelaskan mengapa identitas tersebut berlaku. Ini berarti kedua kognisi tersebut merupakan proses berbeda dalam aktivitas mental seseorang. Hal ini menunjukkan adanya interaksi atau konflik antara kognisi formal dan kognisi intuitif (intuisi).

Formal cogntion versus Intuitive conition (Hah Roh, 2005)

(tanda panah dua arah menunjukkan kemungkinan adanya interaksi atau konflik diantara kedua kognisi tersebut)

Selain itu kognisi yang dikembangkan individu yang tidak bergantung kepada pembelajaran tetapi sebagai efek dari pengalaman pribadi disebut kognisi intuitif primer; biasanya disingkat intuisi primer (primary intuition), dan pada sisi lain, intuisi baru dapat dikembangkan melalui pembelajaran atau pelatihan sistematik yang disebut kognisi intuitif sekunder; biasanya disingkat intuisi sekunder (secondary intuition).

Fischbein (1983) memberikan istilah yang berbeda dengan masing-masing kategori intuisi tersebut. Ia membedakan dua tipe intuisi, yaitu intuisi primer dan intuisi sekunder. Intuisi primer adalah intuisi yang berkembang secara alami, tidak bergantung kepada pembelajaran, sebaliknya intuisi sekunder merupakan intuisi yang dibangun sebagai hasil dari proses pembelajaran secara sistematik. Fischbein (1983) menyatakan, “primary intuitions are those which develop themselves naturally, independently of any systematic instruction. Secondary intuitions are those which may be developed as a result of a systematic instructional process.”

Sejalan dengan yang diuraikan sebelumnya, kedua jenis intuisi ini dapat memberi keputusan sama atau berbeda dengan keputusan yang diambil melalui penggunaan kognisi formal pada suatu pemecahan masalah.

Formal Cognition Versus Two kind of Intuitive Cognition (Hah Roh, 2005)

(Tanda anak panah dua arah menunjukkan kemungkinan adanya interaksi atau konflik diantara kedua kognisi tersebut, sedangkan tanda anak panah satu arah menunjukkan adanya perkembangan kognitif dari intuisi primer ke intuisi sekunder sebagai hasil pembelajaran secara sistematik).

Dalam pembelajaran matematika, dimungkinkan menggunakan metode informal dan metode formal dalam mempelajari dan mengkomunikasikan ide-ide matematika. Metode formal biasanya diartikan sebagai komunikasi langsung dengan sistem aksiomatik formal matematika. Karena itu, dalam argumentasi formal dimungkinkan hanya menggunakan aksioma, definisi eksak, teorema yang telah dibuktikan sebelumnya, konsep-konsep dasar tak terdefinisi, dan logika matematika. Menurut Goldin (Viholainen, 2007), bukti formal yang dikerjakan melalui metode ini dapat dipandang sebagai pembenaran atau jastifikasi mutlak, dan pengetahuan matematika yang diperoleh melalui metode ini dapat dipandang sebagai kebenaran objektif, relatif terhadap sistem aksioma formal tersebut. Karena itu nilai kebenaran proposisi matematika tidak bergantung kepada preferensi atau interpretasi individu, konvensi sosial, negosiasi, atau konsepsi subjektif, tetapi melalui argumen formal yang memiliki peranan meyakinkan dalam memutuskan proposisi tersebut benar atau salah.

Pada sisi lain, representasi internal suatu konsep memiliki banyak sisi. Representasi internal tersebut sangat penting dalam berpikir matematik sebab mereka menolong untuk memahami sifat abstrak matematika. Menurut Goldin (Viholainen, 2007), representasi internal dapat berupa verbal/sintaktik, imaginistik, notasi formal, strategik/heuristik, atau berupa asosiasi mental afektif suatu konsep. Proses berpikir formal berbasis hanya kepada representasi notasi formal, tetapi dalam berpikir matematika informal, semua jenis representasi internal dapat dimanfaatkan/digunakan. Namun demikian, berpikir informal dan berargumen informal memiliki kelemahan dalam hal keketatannya.

Untuk mengkaji bagaimana subjek memahami konsep formal, Tall dan Vinner (1981) mengusulkan untuk mengobservasi relasi antara konsepsi informal (citra konsep individu terhadap konsep) dan konsepsi formal (koleksi konsep formal yang didefinisikan melalui definisi formal, dan sifat-sifatnya), dan interrelasi yang diekspressikan melalui proposisi, teorema, dan akibat-akibatnya. Berpikir matematika informal menghendaki individu memberi makna informal terhadap definisi formal konsep dan klaim matematika formal. Makna ini disebut representasi informal. Umumnya interpretasi informal menolong mengkonkretkan makna definisi formal dan klaim formal, namun seperti pada argumen informal, sedikitnya hingga pada taraf tertentu, memiliki kelemahan dalam hal keketatan, dan karena itu interpretasi informal tidak termasuk ke dalam sistem aksiomatik formal matematika. Interpretasi informal memiliki peranan signifikan dalam berpikir informal dan dalam berargumentasi informal: argumentasi informal; sangat sering berbasis kepada interpretasi informal.

Uraian-uraian di atas menunjukkan bahwa konsep matematika tidak hanya dipahami melalui proses berpikir formal, atau menggunakan kognisi algoritmik. Pemahaman konsep matematika dapat berlangsung sebagai interaksi antara kognisi formal, kognisi algoritmik, dan kognisi intuitif. Kognisi intuitif melakukan proses untuk memberi makna, atau interpretasi informal terhadap definisi formal, teorema-teorema, memberi makna atau interpretasi suatu rumus atau prosedur tertentu, atau membuat dugaan-dugaan atau klaim dalam suatu pemecahan masalah matematika.